Die Riemann-Hypothese und die Millennium-Preisprobleme

Einleitung: Warum Millionen für Mathematik?

Die Mathematik hat eine eigenartige Beziehung zu Geld. Im Gegensatz zur Physik, zur Medizin oder zur Informatik gibt es für Mathematiker keinen offiziellen Nobelpreis. Stattdessen hat die mathematische Welt ihre eigenen Auszeichnungen hervorgebracht, von der Fields-Medaille über den Abelpreis bis hin zu den Millennium-Preisproblemen des Clay Mathematics Institute, bei denen jeder korrekte Beweis mit einer Million Dollar belohnt wird.

Dieser Artikel dreht sich um die Riemann-Hypothese, das vielleicht berühmteste ungelöste Problem der Mathematik, und ordnet es in den größeren Kontext der großen Preise und Auszeichnungen ein. Was macht die Riemann-Hypothese so bedeutsam? Was sind die Millennium-Preisprobleme? Und wer bekommt die Fields-Medaille?

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Die Riemann-Hypothese

Was behauptet die Riemann-Hypothese?

1859 veröffentlichte Bernhard Riemann seine Arbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze". Darin formulierte er eine Vermutung, die bis heute unbewiesen ist und die Zahlentheorie dominiert wie kaum ein anderes Problem.

Im Zentrum steht die Riemannsche Zeta-Funktion, die für komplexe Zahlen s mit Realteil größer als 1 definiert ist als:

ζ(s) = 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ...

Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Funktion auf die gesamte komplexe Ebene erweitern, mit einer einfachen Polstelle bei s = 1. Anschließend kann man nach ihren Nullstellen fragen: den Werten von s, für die ζ(s) = 0 gilt.

Einige Nullstellen sind trivial, nämlich die negativen geraden Zahlen: s = -2, -4, -6, ... Die interessanten Nullstellen sind die sogenannten nichttrivialen Nullstellen, die im kritischen Streifen 0 < Re(s) < 1 liegen. Die Riemann-Hypothese besagt nun:

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion liegen auf der kritischen Linie Re(s) = ½.

Der Realteil jeder nichttrivialen Nullstelle ist exakt ½. Das klingt nach einer einfachen Aussage, aber die Konsequenzen sind gigantisch.

Warum ist die Riemann-Hypothese so wichtig?

Primzahlen sind die Bausteine der ganzen Zahlen. Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Seit über zweitausend Jahren versuchen Mathematiker, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Wie viele Primzahlen gibt es unterhalb einer gegebenen Schranke? Welches Muster folgt ihrer Abfolge?

Die Riemann-Hypothese würde diese Fragen beantworten. Ihre Gültigkeit würde die Verteilung der Primzahlen vollständig aufklären und damit eines der ältesten Probleme der Mathematik lösen. Der Primzahlsatz, der die asymptotische Dichte der Primzahlen beschreibt, wäre durch die Riemann-Hypothese mit einer scharfen Fehlerabschätzung versehen.

Darüber hinaus hängen über 1.000 weitere mathematische Aussagen von der Gültigkeit der Riemann-Hypothese ab. Viele Sätze in der analytischen Zahlentheorie sind formuliert als: „Wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, dann gilt ..." Fiele die Riemann-Hypothese, würden all diese Sätze ihre Grundlage verlieren.