Hilberts 23 Probleme: Die Blaupause für die Mathematik des 20. Jahrhunderts

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Hilberts 23 Probleme: Die Blaupause für die Mathematik des 20. Jahrhunderts | Art & Curiosity | Tobias Weiss

Einführung

Am Morgen des 8. August 1900 trat der deutsche Mathematiker David Hilbert vor den Internationalen Mathematiker-Kongress an der Sorbonne in Paris und hielt einen Vortrag, der zum einflussreichsten in der Geschichte der Mathematik werden sollte. Anstatt vergangene Errungenschaften zu feiern, blickte er entschlossen nach vorne:

„Wer von uns würde es nicht begrüßen, den Schleier zu lüften, hinter dem die Zukunft verborgen liegt; einen Blick auf die nächsten Fortschritte unserer Wissenschaft und auf die Geheimnisse ihrer Entwicklung in den kommenden Jahrhunderten zu werfen?“

Mit diesen Worten enthüllte Hilbert eine Liste von 23 ungelösten Problemen, die als Roadmap für die Mathematik des kommenden Jahrhunderts gedacht waren. Das Wagnis gelang über alle Maßen: Hilberts Probleme wurden zu einem Leitstern für Generationen von Mathematikern, und ihre (teilweisen oder vollständigen) Lösungen prägten nahezu jeden Zweig der modernen Mathematik.

Der Mann und der Moment

David Hilbert (1862–1943) war bis zum Jahr 1900 bereits einer der angesehensten Mathematiker der Welt. Seine Arbeiten zur Invariantentheorie, zur algebraischen Zahlentheorie (der Zahlbericht) und zu den Grundlagen der Geometrie hatten seinen Ruf gefestigt. Doch Hilbert war auch ein Visionär, der erkannte, dass die Mathematik an einem Scheideweg stand.

Das 19. Jahrhundert war ein goldenes Zeitalter gewesen: Gauss, Riemann, Dedekind, Cantor und Poincaré hatten die mathematische Landschaft transformiert. Dennoch blieben viele grundlegende Fragen ungeklärt. Die Paradoxien der Mengenlehre hatten das Vertrauen in die eigentlichen Fundamente der Mathematik erschüttert. Hilbert glaubte, dass der richtige Satz von Problemen die Disziplin fokussieren und vorantreiben könnte.

Er erstellte die Liste in enger Absprache mit seinen Freunden Hermann Minkowski und Adolf Hurwitz, die Vorschläge und kritisches Feedback lieferten. Ursprünglich beabsichtigte Hilbert, alle 23 Probleme in seinem Vortrag zu präsentieren, doch Zeitbeschränkungen zwangen ihn dazu, nur zehn davon vorzustellen (Nummern 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 und 22). Die vollständige Liste wurde später in diesem Jahr veröffentlicht.

Ein bemerkenswerter Aspekt von Hilberts Problemen ist ihre außergewöhnliche Spannweite. Sie umfassen mathematische Logik, Mengenlehre, Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Topologie, Differentialgleichungen, Variationsrechnung und sogar die Axiomatisierung der Physik. Kein einzelner Problemsatz seitdem hat diese Breite erreicht.

Die 23 Probleme

Die Probleme sind unten zusammengefasst und nach ihrem Stand zum Zeitpunkt der Niederschrift (2026) gruppiert:

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Hinweis: Diese Klassifizierung spiegelt den zeitgenössischen mathematischen Konsens wider. Einige Probleme, wie #8 (die Riemannsche Vermutung) und #12 (Erweiterungen des Kronecker-Theorems), sind heute noch genauso offen wie im Jahr 1900, während andere mit überraschender Geschwindigkeit gelöst wurden.

Die Probleme im Detail

Die folgende Tabelle zeigt die vollständige Liste. Die Spalte Status spiegelt den aktuellen Kenntnisstand zur Lösung jedes Problems (Stand 2026) wider.

#	Problem	Gebiet	Status	Hauptbeitragende
1	Cantors Kontinuumshypothese: Gibt es eine Menge, deren Mächtigkeit strikt zwischen den ganzen und den reellen Zahlen liegt?	Mengenlehre / Logik	Umstritten	Gödel (1940), Cohen (1963)
2	Konsistenz der Arithmetik: Beweis, dass die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind	Logik	Umstritten	Gödel (1931), Gentzen (1936)
3	Scherenkongruenz von Polyedern: Können zwei Polyeder gleichen Volumens immer in kongruente Stücke zerlegt werden?	Geometrie	Gelöst	Dehn (1900)
4	Geometrie der Geodäten: Konstruktion aller metrischen Räume, in denen Geraden die kürzesten Wege sind	Geometrie	Vage	Hamel, Busemann
5	Stetige Transformationsgruppen: Sind stetige Gruppen automatisch differenzierbar (Lie-Gruppen)?	Topologie / Algebra	Teilweise	Von Neumann (1933), Gleason (1953)
6	Axiomatisierung der Physik: Behandlung der Physik mittels der axiomatischen Methode	Physik / Grundlagen	Teilweise	Kolmogorov (1933), aktuell (2025)
7	Transzendenz von $a^b$ : Ist $a^b$ transzendent für algebraische und irrational-algebraische ?

Meilenstein-Lösungen

Problem 3: Das erste, das fiel (1900)

Hilberts drittes Problem fragte, ob zwei Polyeder gleichen Volumens immer scherenkongruent sind – das heißt, ob man eines in endlich viele Stücke schneiden und diese so zusammensetzen kann, dass das andere entsteht. In der Ebene ist die analoge Aussage wahr (Satz von Bolyai–Gerwien), daher war es natürlich, dies für die dritte Dimension zu hinterfragen.

Max Dehn, ein Schüler Hilberts, löste das Problem noch im selben Jahr (1900) – womit es das erste gelöste Hilbert-Problem wurde. Er führte ein, was heute als Dehn-Invariante bezeichnet wird, eine reelle Zahl, die jedem Polyeder zugeordnet wird. Wenn zwei Polyeder scherenkongruent sind, müssen ihre Dehn-Invarianten gleich sein. Dehn zeigte, dass ein reguläres Tetraeder und ein Würfel gleichen Volumens unterschiedliche Dehn-Invarianten haben und daher nicht ineinander zerlegt und zusammengesetzt werden können.

Problem 7: Der Gelfond–Schneider-Satz (1934)

Hilbert fragte: Wenn $a$ algebraisch ist ( $a \neq 0, 1$ ) und $b$ algebraisch und irrational ist, ist $a^b$ dann notwendigerweise transzendent? Dies generalisiert die alte Frage, ob $2^{\sqrt{}}$ transzendent ist.

Im Jahr 1934 bewiesen der sowjetische Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon Theodor Schneider, dass die Antwort ja lautet. Der Satz trägt heute beide Namen:

Gelfond–Schneider-Satz: Wenn $\alpha$ und $\beta$ algebraische Zahlen mit $\alpha \notin \{0,1\}$ und $\beta$ irrational sind, dann ist $\alpha^\beta$ transzendent.

Dieses Ergebnis impliziert bekanntlich, dass $2^{\sqrt{2}}$ und $e^\pi = (-1)^{-i}$ (durch Setzen von unter Beachtung von ) transzendent sind.

Problem 10: Der Algorithmus, der nicht existieren konnte (1970)

Hilberts zehntes Problem fragte nach einem Algorithmus, um zu entscheiden, ob eine beliebige diophantische Gleichung (eine polynomielle Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten) eine ganzzahlige Lösung besitzt. Dies war eine fundamental optimistische Frage: Hilbert glaubte, dass jedes mathematische Problem lösbar sei.

Die Auflösung, die 1970 von Yuri Matiyasevich (aufbauend auf den Grundlegungsarbeiten von Martin Davis, Hilary Putnam und Julia Robinson) abgeschlossen wurde, lieferte eine verblüffende negative Antwort: ein solcher Algorithmus existiert nicht. Matiyasevits Theorem, auch bekannt als das Matiyasevich–Robinson–Davis–Putnam-Theorem, beweist, dass die Menge der lösbaren diophantischen Gleichungen rekursiv aufzählbar, aber nicht rekursiv ist – es gibt kein allgemeines Verfahren, das die Lösbarkeit in endlich vielen Schritten bestimmen kann.

Dieses Ergebnis widerlegte effektiv Hilberts philosophische Position, dass die Mathematik kein ignorabimus (Dinge, die wir niemals wissen können) kenne. Es war zudem ein Meilenstein in der Theorie der Berechenbarkeit, da es die Zahlentheorie mit dem Halteproblem verknüpfte.

Das philosophische Erbe: Hilberts Programm und Gödel

Hilberts zweites Problem fragte nach einem Beweis für die Konsistenz der Axiome der Arithmetik – ein Eckpfeiler dessen, was als Hilberts Programm bekannt wurde. Die Idee war, die gesamte Mathematik auf ein festes, finitistisches axiomatisches Fundament zu stellen und damit die Paradoxien zu verbannen, die die Mengenlehre geplagt hatten.

Im Jahr 1931 versetzte Kurt Gödel einen vernichtenden Schlag. Sein zweiter Unvollständigkeitssatz bewies, dass jedes konsistente formale System, das stark genug ist, um die Arithmetik auszudrücken, seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Hilberts Programm war in seiner ursprünglichen Form unmöglich – es sei denn, man war bereit, Methoden zu akzeptieren (wie die transfinite Induktion bis $\varepsilon_0$ , wie Gerhard Gentzen 1936 zeigte), die über den von Hilbert envisionierten finitistischen Rahmen hinausgingen.

Hilbert lebte nach Gödels Publikation noch 12 Jahre, schrieb jedoch nie eine formale Antwort auf die Unvollständigkeitssätze. Sein Motto blieb trotzig:

"Wir müssen wissen — wir werden wissen."

Dieses berühmte Statement aus dem Jahr 1930 – nur ein Jahr vor Gödels Arbeit – wurde auf Hilberts Grabstein in Göttingen eingraviert.

Das 24. Problem

Im Jahr 2000 entdeckte der deutsche Historiker Rüdiger Thiele ein zusätzliches Problem in Hilberts ursprünglichen Manuskriptnotizen: ein 24. Problem über Kriterien für die Einfachheit von Beweisen und die Entwicklung einer allgemeinen Beweistheorie. Hilbert hatte entschieden, es aus der endgültigen Liste zu streichen, aber seine Existenz zeigt, dass er bereits über das Konzept der mathematischen Eleganz und die Struktur von Beweisen selbst nachdachte.

Die Millennium-Probleme: Eine Fortsetzung im 21. Jahrhundert

Im Jahr 2000, genau ein Jahrhundert nach Hilberts Vortrag, kündigte das Clay Mathematics Institute eine neue Reihe von sieben Millennium-Preis-Problemen an, von denen jedes mit einem Preisgeld von 1 Million US-Dollar für seine Lösung dotiert ist. Mehrere der Millennium-Probleme überschneiden sich direkt mit denen von Hilbert:

Millennium-Problem	Relation zu Hilbert
Riemannsche Hypothese	Hilberts Problem 8
Poincaré-Vermutung	Gelöst durch Perelman (2003) — nicht bei Hilbert
P vs NP	Nicht bei Hilbert (komplexitätstheoretisch)
Existenz von Navier–Stokes	Entfernter Bezug zu Problem 6
Existenz von Yang–Mills	Bezug zu Problem 6
Hodge-Vermutung	Nicht direkt bei Hilbert
Birch–Swinnerton-Dyer-Vermutung	Entfernter Bezug zu Problem 10

Bis heute wurde unter den Millennium-Problemen nur die Poincaré-Vermutung (bewiesen durch Grigori Perelman im Jahr 2003) gelöst. Die Riemannsche Hypothese, Hilberts achtes Problem, bleibt für beide Listen offen.

Fazit

Mehr als 125 Jahre nach Hilberts Vortrag prägen seine Probleme die Mathematik weiterhin. Einige wurden gelöst und sind zum Standardmaterial in Lehrbüchern geworden; andere bleiben so rätselhaft wie eh und je; und einige wenige wurden durch genau jene Entwicklungen, die sie inspirierten, obsolet oder als falsch gestellt entlarvt.

Was Hilberts Liste so einzigartig kraftvoll machte, waren nicht die einzelnen Probleme selbst – viele davon wurden bereits aktiv untersucht –, sondern die Tatsache, dass sie gemeinsam als eine kohärente Vision für die Zukunft der Mathematik präsentiert wurden. Hilbert sagte seinen Kollegen: Hier ist es, wo wir hingehen. Und bemerkenswerterweise folgte die mathematische Gemeinschaft.

Wie Hilbert es selbst in seinem Vortrag von 1900 ausdrückte:

"Die mathematischen Probleme sind in vielerlei Hinsicht gelöst worden, wie wir wissen. Ein mathematisches Problem, wie wir es uns vorstellen, ist eine Frage, auf die die Antwort entweder ein Beweis oder ein Nachweis ist, dass das betreffende Problem nicht lösbar ist. Diese Überzeugung von der Lösbarkeit jedes mathematischen Problems ist ein starker Ansporn für den Arbeiter. Wir hören in uns den ewigen Ruf: Da ist das Problem. Suche seine Lösung. Du kannst sie durch reine Vernunft finden, denn in der Mathematik gibt es kein ignorabimus."

Weiterführende Literatur

D. Hilbert, "Mathematische Probleme", Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1900)
B. H. Yandell, The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers (2002)
K. Gödel, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" (1931)
Y. Matiyasevich, Hilbert's Tenth Problem (1993)
Clay Mathematics Institute, The Millennium Problems (2000)

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