Machine Learning für Modulformen: GNNs, Spektralmethoden und L-Funktionen-Phänomenologie — Umfassendes Preprint

May 30, 2026

ResearchAI & Machine Learning

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Inhalte des Preprints

Das 12-seitige Preprint (32 Referenzen) konsolidiert jeden Experiment-Track und jeden theoretischen Beitrag:

Negative Ergebnisse (Thread A — Cayley-Graphen von SL(2,Fₚ))

GNNs scheitern systematisch bei knotentransitiven algebraischen Graphen. Über GCN, GAT, GIN, ChebConv und GraphSage hinweg — sowohl auf Subgraph- als auch auf Full-Graph-Ebene — erreicht keine Architektur ein ΔR² > +0,042 gegenüber einer trivialen log(N)-Baseline. Die Ursache ist die Knotentransitivität: Jeder Knoten ist strukturell identisch, wodurch die lokalen Nachbarschaftsinformationen kollabieren, auf die Message-Passing angewiesen ist. Formalisiert über die Weisfeiler-Leman-Hierarchie: MPNNs auf knotentransitiven Graphen sind auf Funktionen des Durchmessers und des Grades beschränkt.

Positive Ergebnisse (Thread B — Learning im LMFDB-Maßstab)

Wenn die Daten eine Struktur aufweisen, ist ML erfolgreich:

Hecke-Trace-Regression: R² = 0,987 bei 53.000 Formen unter Verwendung von 100 Hecke-Traces (sklearn GBR). Die Datenmenge, nicht die Modellarchitektur, war der Flaschenhals.

Klassifizierung des analytischen Rangs: F₁ = 0,970 (MLP/RF/GB-Ensemble auf 100 Hecke-Traces).

L-Funktions-Nullstellen-Vorhersage: R² = 0,731 (GAT auf Trace-Index-Graphen mit 1000 Knoten).

CM-Form-Detektion: F₁ = 0,919 (Sato-Tate-Moment-Features, primär M₄/M₂-Verhältnis).

Strukturelle Entdeckungen (Thread C — CvS, GUE, Sato-Tate)

Connes CvS-Operator extrahiert ζ-Nullstellen mit einer Maschinengenauigkeit von 10⁻¹⁶ bei N=100.

Zwei-Populations-GUE-Statistiken: dim=1 → GUE, dim≥2 → GOE über 63.844 Formen (Cohen's d = 8,808).

Galois-Korrelation: ρ₂ = −0,607 ± 0,012, Dilutionsgesetz ρ_d ∼ d^.

Sato-Tate-Moment-Diagramme: klare Konvergenzlücken zwischen CM- und Nicht-CM-Familien.

Neu im Preprint (Bisher nicht veröffentlicht)

GAT-Attention-Analyse (Abschnitt 4.10): Über 56 Mio. Kanten-Beobachtungen über 2000 Testgraphen. Prime Bias 6,1 % (Verhältnis 1,061), Cohen's d = 0,035 — GAT lernt die Ramanujan–Petersson-Schranke nicht. Layer 2 fokussiert (Entropie 7,15, Sparsity 0,62), Layer 0/1 diffus.

FunSearch-Spezifikationen (Thread K): Zwei konvergente Suchziele für die Entdeckung arithmetischer Funktionen — multiplikative Hecke-Trace-Modelle und Spectral-Gap-Formeln auf LPS-Graphen.

Analyse der spektralen Rigidität: GUE-Eigenwert-Abstandsstatistiken (Δ₃, P(s)) über Dimensionen hinweg, mit dem Übergang dim=1/≥2.

Erweiterter theoretischer Rahmen: Weisfeiler-Leman-Beweis der MPNN-Limitierungen auf knotentransitiven Graphen, formalisiert als Theorem 4.2.

Zentrale experimentelle Konstanten

Experiment	Stichprobe	Bestes Ergebnis
Cayley spectral gap (GNN)	27 Primzahlen, 1M+ Knoten-Graphen	ΔR² = +0,042 (Zufallsniveau)
Hecke trace regression	53.000 Formen	R² = 0,987 (sklearn GBR)
Analytischer Rang	46.347 Formen	F₁ = 0,970
L-zero prediction (GAT)	46.347 Formen, 1000-Knoten-Graphen	R² = 0,731
CM-Klassifizierung	46.347 Formen	F₁ = 0,919
GAT attention (prime bias)	2000 Graphen, 56M Kanten	d = 0,035 (vernachlässigbar)
ζ-Nullstellen via CvS	N = 100	10⁻¹⁶ Maschinengenauigkeit

Experiment

Stichprobe

Bestes Ergebnis

Cayley spectral gap (GNN)

27 Primzahlen, 1M+ Knoten-Graphen

ΔR² = +0,042 (Zufallsniveau)

Hecke trace regression

53.000 Formen

R² = 0,987 (sklearn GBR)

Analytischer Rang

46.347 Formen

F₁ = 0,970

L-zero prediction (GAT)

46.347 Formen, 1000-Knoten-Graphen

R² = 0,731

CM-Klassifizierung

46.347 Formen

F₁ = 0,919

GAT attention (prime bias)

2000 Graphen, 56M Kanten

d = 0,035 (vernachlässigbar)

ζ-Nullstellen via CvS

N = 100

10⁻¹⁶ Maschinengenauigkeit

Repository

Sämtlicher Code, Daten-Pipelines und experimentelle Skripte sind im Riemann Project repository verfügbar (Dockerised, mit Makefile-Targets zur Reproduktion). Das Repository enthält den vollständigen Knowledge Graph (Cypher/Neo4j), 7 GNN-Implementierungen, Eigenwertberechnungen via sparse Lanczos und die Sato-Tate-Moment-Analyse.

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