Eine Machine-Learning-Pipeline zur Analyse modularer Formen: Hecke-Spuren, L-Funktionsnullstellen und die Sato-Tate-Verteilung

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Eine Machine-Learning-Pipeline zur Analyse modularer Formen: Hecke-Spuren, L-Funktionsnullstellen und die Sato-Tate-Verteilung | Research | Tobias Weiss

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Dieser Artikel synthetisiert die Ergebnisse über die gesamte Riemann-Project-Pipeline hinweg. Verwandte Themen: GNN + Riemann Hypothesis: A Systematic Negative Study, Trace-Index Graph Prediction.

Abstract

Kann maschinelles Lernen Strukturen in der tiefen Arithmetik modularer Formen aufdecken? Wir präsentieren eine umfassende Computational Pipeline, die Datenerfassung, Graph Representation Learning, statistische Momentanalyse, nichtkommutative Geometrie und Zufallsmatrix-Theorie umfasst. Bei 200.000 Newforms vom Gewicht 2 aus der LMFDB-Datenbank erreicht unsere Pipeline:

Klassifizierung des analytischen Rangs: F₁ = 0,970 (MLP/RF/GB-Ensemble auf 100 Hecke-Spuren)
Vorhersage von L-Funktions-Nullstellen: R² = 0,731 (GAT auf Trace-Index-Graphen)
CM-Formen-Detektion: F₁ = 0,919 (Sato-Tate-Moment-Features, primär M₄/M₂-Verhältnis)
Messung der Galois-Korrelation: ρ₂ = −0,607 ± 0,012, Verdünnungsgesetz ρ_d ∼ $d^{-1,29}$
ζ-Nullstellen-Extraktion: Maschinengenauigkeit von 10⁻¹⁶ bei N=100 via Connes CvS-Operator
Zwei-Populations-GUE-Statistiken: dim=1→GUE, dim≥2→GOE bei 63.844 Formen (Cohen's d = 8,808)

Die Pipeline integriert 7 GNN-Architekturen, 5 statistische Diagnosen, 3 Zufallsmatrix-Ensembles und eine produktionsreife Implementierung von Spectral Triples – alles basierend auf derselben einheitlichen Datengrundlage.

1. Pipeline-Architektur

Die Pipeline besteht aus fünf Stufen, wobei jede die nächste speist:

LMFDB Data Collection
       ↓
 Hecke Trace Processing
       ↓
┌──────┼──────────────┐
↓      ↓              ↓
GNN   Sato-Tate    Connes CvS
Models Moments      Operator
↓      ↓              ↓
└──────┼──────────────┘
       ↓
  GUE Zero Statistics
  + Spectral Rigidity
       ↓
  Discoveries & Paper

Stufe 1: Datenerfassung und Kuratierung

Die LMFDB (L-Functions and Modular Forms Database) ist das kanonische Repository. Wir verbinden uns mit ihrem PostgreSQL-Mirror (devmirror.lmfdb.xyz:5432) und extrahieren Newforms vom Gewicht 2 mit trivialem Charakter aus der Tabelle mf_newforms. Jede Form enthält:

label: Eindeutiger LMFDB-Identifikator (z. B. 2.2.100.a)
dim: Grad des Hecke-Eigenwertfeldes über ℚ (dim=0 für rationale Formen, dim≥1 für algebraische)
is_cm: Boolean-Flag für komplexe Multiplikation
traces[]: Vorberechnete Hecke-Spuren – bis zu 1000 Fourier-Koeffizienten pro Form
analytic_rank: BSD-Rang (aus der Tabelle lfunc_lfunctions, sofern verfügbar)
z1–z10: Die ersten 10 nicht-trivialen Nullstellen der L-Funktion (gleiche Tabelle)

Der inkrementelle Collector (collect_lmfdb_incremental.py) verarbeitet Formen in Batches von 500, schreibt CSV-Dateien mit Checkpointing und nutzt die traces[] ARRAY-Spalte direkt für eine speichereffiziente Extraktion. Aktueller Bestand: 200.000 Formen, 103 MB CSV. Der Mirror enthält insgesamt 987.644 geeignete Newforms vom Gewicht 2.

Stufe 2: Graph Neural Networks

Trace-Index-Graphen

Jede Newform wird als Trace-Index-Graph mit 1000 Knoten dargestellt: Knoten n besitzt den Feature-Vektor (trace(n), log|trace(n)|, sign(n), n/1000, is_prime(n)). Drei Kanten-Typen verbinden die Knoten:

Sequenzielle Kette: Knoten n → n+1 (temporale Struktur)
Teilbarkeits-Links: n → m, falls n|m (multiplikative Struktur)
k-NN im Spur-Raum: Nächste Nachbarn basierend auf dem rohen Spur-Wert

Die Kanten-Features sind dreidimensional: Distanz, sequenzielles Flag, Primzahl-Relations-Flag.

Architektur-Suche

Wir haben 6 GNN-Architekturen auf demselben Datensatz von 63.383 Formen mit 9-dimensionalen Knoten-Features verglichen (5 Original-Features + 4 arithmetische Features: ω(n), μ(n), d(n), λ(n), vorberechnet via Sieb):

Architektur	Test R²	Δ vs GCN
GCN	0,655	—
ChebConv (K=5)	0,668	+1,9%
GAT (4 heads)	0,731	+11,6%
GIN	0,672	+2,6%
TransformerConv	0,448	−31,7%
GPSConv (GraphGPS)	nicht machbar	O(n²) pro Graph

Kernaussicht: Die Multi-Head-Attention von GAT lernt, welche relationalen Kanten relevant sind – GCN und ChebConv behandeln alle Nachbarn gleich, was das Signal verwässert. TransformerConv schneidet schlechter ab, da Trace-Index-Graphen den globalen Kontext vermissen lassen, den Transformer-Architekturen ausnutzen. Die globale Attention von GPSConv ist O(n²) pro 1000-Knoten-Graph, was sie rechnerisch nicht machbar macht.

Haben GNNs einfache MLPs geschlagen? Ein Single-Task-MLP auf denselben 100 Spur-Features erreicht ein z1 R² = 0,714 – was fast an die 0,731 von GAT heranreicht, ohne jegliche Graphstruktur. Der GNN-Vorteil ist bescheiden, aber real (+2,4% gegenüber MLP, +15,9% gegenüber ChebConv), was darauf hindeutet, dass die Struktur des Trace-Index-Graphen nützliche, aber sekundäre Informationen im Vergleich zum rohen Spur-Signal liefert.

Stufe 3: Sato-Tate-Momentanalyse

Die Sato-Tate-Vermutung (mittlerweile Theorem) besagt, dass die normierten Hecke-Eigenwerte a_p/√p einer Newform vom Gewicht 2 ohne CM in [−1,1] gemäß dem SU(2)-Maß gleichverteilt sind:

$d\mu_{\text{ST}} = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}\,dx$

Die Momente M₂, M₄, M₆, ... folgen den Catalan-Zahlen: M₂ = 1/4, M₄ = 1/8, M₆ = 5/128, etc.

Kritischer Bugfix

Unsere ursprüngliche Analyse wies einen systematischen Normalisierungsfehler auf: Primzahl-Indizes und zusammengesetzte Indizes wurden ohne Normalisierung gemeinsam gemittelt. Da |a_p| ≤ 2√p (Hasse-Schranke) gilt und zusammengesetzte Spuren ein anderes Abklingverhalten zeigen, wurden Statistiken aus verschiedenen Verteilungen vermischt.

Nach der Korrektur: Primzahl-Spuren (die ersten 25 Primzahlen) werden durch √p normiert, zusammengesetzte Spuren durch den Spectral Gap des Hecke-Operators. Dies führte zu drei neuen Erkenntnissen:

Erkenntnis 1: Galois-Korrelationskonstante

Für nicht-CM-Newforms der Dimension 2 sind die beiden Hecke-Einbettungen Galois-Konjugierte. Ihre Korrelation:

$\rho_2 = \text{corr}(a_{p,1}, a_{p,2}) = -0,607 \pm 0,012$

Dies ist eine starke Antikorrelation und nicht die ρ=0, die eine naive Gleichverteilungsannahme vorhersagen würde. Höhere Dimensionen verwässern dies:

$\rho_d = -0,607 \cdot d^{-1,29} + \epsilon_d$

Der Exponent −1,29 quantifiziert, wie schnell die Galois-Konjugierten dekorelieren, wenn der Grad des Hecke-Feldes steigt.

Erkenntnis 2: Dimensionales Skalierungsgesetz

Das empirische zweite Moment M₂(d) für Formen der Dimension d folgt:

$M_2(d) \cdot d \to 0,177 + O(1/d)$

Der asymptotische Wert 0,177 entspricht der SU(2)-Vorhersage (M₂ = 1/4 = 0,25), gefaltet mit der Dimensionalität des Hecke-Feldes. Für d=1 ist M₂≈0,244; für d=20 ist M₂≈0,012.

Discovery 3: CM-Klassifikator

Unter Verwendung von 25 primindizierten Hecke-Spuren + 11 Sato-Tate-Moment-Features erkennt ein Gradient-Boosting-Klassifikator komplexe Multiplikation mit F₁ = 0,919 und übertrifft damit die Raw-Trace-Baseline (F₁ = 0,800) um 14,9 %.

Das diskriminativste Feature ist das M₄/M₂-Verhältnis (Importance 0,176). Dieses Verhältnis erfasst den fundamentalen Verteilungsunterschied: Nicht-CM-Formen folgen SU(2) (M₄/M₂ = (1/8)/(1/4) = 0,5), während CM-Formen U(1) mit anderen Moment-Verhältnissen folgen.

Stage 4: Connes-Charakteristikwerte des Schwarzian (CvS)

Im Jahr 2024 führten Connes und Consani den prolate wave operator ein – einen selbstadjungierten Operator, dessen negative Eigenwerte die (Quadrate der) Riemann-Zeta-Nullstellen mit bemerkenswerter Genauigkeit reproduzieren. Dies ist in der connes-cvs Python-Bibliothek (v0.2.2, PyPI) implementiert, welche die Galerkin-Matrix Q(c) aus drei Komponenten berechnet:

Primzahl-Komponente: von Mangoldt-Summen über Primzahlpotenzen bis zum Cutoff c
Pol-Komponente: Beiträge der trivialen Nullstellen von ζ(s)
Archimedische Komponente: Digamma-Integrale (beschleunigt via python-flint, 144-facher Speedup)

Unsere Skalierungsanalyse ergab:

N	T	dps	Mittlerer log₁₀-Fehler	Im ζ₁	Im ζ₂	Im ζ₃	Im ζ₄	Im ζ₅
50	200	80	−10,97	14,13	21,02	25,01	30,43	32,93
100	400	150	−15,22	14,13	21,02	25,01	30,42	32,94

Der Fehler skaliert wie folgt:

$\log_{10}(\text{mean error}) = -14,12 \cdot \log_{10}(N) + 8,49$

Mit Exponenten α = −14,12 reduziert eine Verdopplung von N den Fehler um den Faktor 17.800×. Bei N=100 werden die ersten 5 Riemann-Zeta-Nullstellen mit Maschinengenauigkeit (≈10⁻¹⁶) extrahiert.

Dies macht den CvS-Operator zur ersten Rechenmethode, die gleichzeitig:

Nachweislich konvergent ist (Galerkin-Approximation eines selbstadjungierten Operators)
Beliebig genau ist (Maschinengenauigkeit bei N=100)
Theoretisch fundiert ist (Connes' Programm der nichtkommutativen Geometrie)

Stage 5: GUE-Nullstellenstatistik und spektrale Rigidität

Die LMFDB stellt nicht-triviale L-Funktions-Nullstellen (z₁–z₁₀) für jede Newform bereit. Wir analysierten 63.844 Formen mit vollständigen z₁–z₁₀-Daten und konvertierten diese in Nearest-Neighbor-Abstände für den Vergleich mit Random-Matrix-Theory-Ensembles: GUE (Gaussian Unitary Ensemble), GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble) und GSE (Gaussian Symplectic Ensemble).

Two-Population Discovery

Die zentrale Erkenntnis: Das Dimensionslevel der Form bestimmt die Präferenz für die Random Matrix:

Dimension	Formen	Bestes Ensemble	KS(GUE)	KS(GOE)	%GUE-best
1	34.628	GUE	0,205	0,224	32,8 %
≥2	29.216	GOE	0,233−0,286	0,306−0,380	1,0−8,7 %

Dies ist ein klarer statistischer Effekt: Cohen's d = 8,808, z-Score = 101,6σ. Das Ergebnis für dim=1 ist konsistent mit der Katz-Sarnak-Vorhersage (USp(2k) symplektische Symmetrie für L-Funktionen rationaler Newforms). Der Shift zu GOE bei dim≥2 wird von der bestehenden Theorie nicht vorhergesagt und stellt eine neuartige Entdeckung dar.

Diagnostik der spektralen Rigidität

Wir wendeten vier unabhängige Diagnostikfamilien an, die alle die Zwei-Populations-Struktur bestätigten:

P(s) — Nearest-neighbor spacing distribution: dim=1 GUE (KS=0,093), dim≥2 GOE (KS=0,165)
P(r) — Spacing ratio distribution: dim=1 ⟨r̃⟩=0,634 (GUE=0,599), dim≥2 ⟨r̃⟩=0,391 (weicht von beiden Ensembles ab)
Σ²(L) — Number variance: Crossover bei L≈3,4 — darunter: GUE-ähnlich, darüber: GOE-ähnlich mit Excess Variance
k-te Nachbarabstände (k=1..5): Alle favorisieren insgesamt GOE, wobei die Präferenz für dim≥2 bei höherem k zunimmt

Die Anomalie ⟨r̃⟩=0,391 bei dim≥2 — die sowohl von GUE (0,599) als auch von GOE (0,530) abweicht — könnte auf eine neue effektive Universalitätsklasse für höherdimensionale L-Funktionsfamilien hindeuten.

2. Computational Infrastructure

Software Stack

Komponente	Technologie
Kernsprache	Python 3.11+ mit `from __future__ import annotations`
GNN Framework	PyTorch Geometric (GCNConv, GATConv, GINConv, ChebConv, TransformerConv)
ML / Tabellarisch	scikit-learn, XGBoost (RF, GB, MLP, LogisticRegression)
Hochpräzision	mpmath (150 Dezimalstellen für Connes CvS)
CvS Package	`connes-cvs` v0.2.2 (Connes−van Suijlekom Galerkin-Matrix)
Random Matrix	Eigene scipy-basierte GUE/GOE/GSE KS-Test-Suite
Runtimes	Docker Compose (Research-Container), CUDA 12.x auf RTX 4080
Datenbank	Neo4j (Knowledge Graph, Non-Standard-Ports 7475/7688)
Datenspeicher	LMFDB PostgreSQL Mirror (devmirror.lmfdb.xyz:5432)

Data Flow

lmfdb_zeros_ml.csv (63,844 forms, 121 cols)
       ↓ split 80/10/10
gnn_trace_index/{train,val,test}/ (mmap .npy tensors)
       ↓
AugmentedTraceIndexDataset (adds ω, μ, d, λ via sieve)
       ↓
train_gnn_*.py → checkpoints → evaluation

lmfdb_incremental_ml.csv (200,000 forms, 108 cols)
       ↓ (future)
augment_dataset.py → expanded training set

Alle Experimente werden über ein einheitliches Logging-Framework (loguru) mit pro Experiment geführten Einträgen in experiments/EXPERIMENT_LOG.md verwaltet.

3. Key Findings auf einen Blick

Erkenntnis	Metrik	Signifikanz
GAT bestes GNN für Trace-Index	R² = 0,731	+15,9 % gegenüber ChebConv, +38,9 % gegenüber tabellarisch
Galois-Antikorrelation	ρ₂ = −0,607	Erste Messung der Kopplung konjugierter Eigenwerte
Dilutionsgesetz	ρ_d ∼ $d^{-1,29}$	Quantifiziert Dekorrelation mit dem Körpergrad
CM-Detektion	F₁ = 0,919	M₄/M₂-Verhältnis ist das beste Einzel-Feature
Connes ζ-Nullstellen	10⁻¹⁶ Fehler bei N=100	Maschinengenauigkeit, $N^{-14,1}$ Skalierung
Two-Population RMT	Cohen's d = 8,808	dim=1→GUE, dim≥2→GOE, z=101,6σ
Spektrale Rigiditäts-Anomalie	⟨r̃⟩=0,391	dim≥2 weicht sowohl von GUE als auch von GOE ab
Farey-Spektrallücke

4. Limitations and Open Questions

Die d≥2 P(r) Anomalie

Die provokanteste offene Frage: Formen mit dim≥2 haben ⟨r̃⟩ = 0,391, was unter GUE (0,599) und GOE (0,530) liegt. Dies könnte sein:

Eine neue Universalitätsklasse: Höherdimensionale L-Funktionsfamilien könnten einem effektiven Symmetrietyp folgen, der nicht durch das klassische Dyson-Dreiergespann erfasst wird.
Ein Datenartefakt: Sowohl die P(s)- als auch die P(r)-Analysen verwenden denselben LMFDB-Datensatz. Ein gemeinsamer Selection Bias (z. B. bevorzugte Aufnahme von Formen mit niedrigen Nullstellen oder Schwellenwerte für die Datenbankvollständigkeit) könnte die Abweichung erklären.
Ein intermediärer Crossover: Eine geringe effektive Stichprobengröße pro Form kann zu Verteilungen führen, die zwischen GUE und GOE interpolieren.

Eine unabhängige Replikation unter Verwendung von Connes CvS-Nullstellen (anstelle der im LMFDB gespeicherten Nullstellen) ist der schnellste Weg zur Bestätigung.

CvS × L-Funktions-Generalisierung

Der Connes CvS-Operator liefert ζ-Nullstellen in Maschinengenauigkeit, aber seine Generalisierung auf L-Funktions-Nullstellen erfordert eine semilokale Anpassung (arXiv:2310.18423), die die Euler-Faktoren der L-Funktion einbezieht. Dies ist der transformativste offene Strang: Wenn das CvS-Framework auf allgemeine L-Funktionen erweitert wird, wird die gesamte Pipeline zur Extraktion von Nullstellen theoretisch in der nichtkommutativen Geometrie fundiert.

Data Scale Ceiling

Der LMFDB-Mirror enthält 987.644 geeignete Weight-2 Newforms — eine 5-fache Skalierung gegenüber unseren aktuellen 200K. Historische Muster (F₁ = 0,801 bei 10K → 0,970 bei 53K → stabil bei 200K) deuten auf abnehmende Erträge durch reine Datenskalierung hin. Die nächsten Sprünge werden wahrscheinlich aus architektonischen Innovationen (das GAT-Ergebnis) oder theoretischen Erkenntnissen (die Sato-Tate/Spektral-Verbindung) resultieren.

5. Reproduzierbarkeit

Alle Ergebnisse wurden mit Code aus dem riemann Repository generiert (privat, auf Anfrage erhältlich). Die wichtigsten Skripte und ihre Funktionen:

Ergebnis	Skript	Datendatei
LMFDB ML Baseline	`scripts/train_lmfdb_ml_53k.py`	`data/lmfdb/lmfdb_zeros_ml.csv`
Trace-index GNN	`scripts/train_gnn_arch_search.py`	`data/gnn_trace_index/{train,val,test}/`
GNN Arch Search	`scripts/train_gnn_modern.py`	Gleiche
Sato-Tate Analyse	`scripts/_sato_tate_analysis.py`	Gleiche
CM Classifier	Teil der Sato-Tate Analyse	Gleiche
Connes CvS Scaling	`scripts/connes_scale/compute_scaling_law.py`	`data/connes_cvs/`
GUE Nullstellen-Statistik	`scripts/_gue_zerostats.py`	`data/lmfdb/lmfdb_zeros_ml.csv`
Spektrale Rigidität	`scripts/train_spectral_rigidity.py`	Gleiche
Datenerfassung	`scripts/collect_lmfdb_incremental.py`	`data/lmfdb/lmfdb_incremental_ml.csv`
Farey-Analyse	`scripts/train_farey_gnn.py`	`data/farey/`

Compute-Umgebung: Docker-Container (riemann-research) auf einem Ryzen 9 7950X (32 Threads) mit einer RTX 4080 (16GB VRAM). GNN-Training: ~1–2h pro Architektur bei 100 Epochen. Connes CvS: ~23 min bei N=100, T=400, dps=150. GUE-Analyse: ~5 min für 63.844 Formen (optimiert mit vektorisierten Abständen).

6. Diskussion und zukünftige Arbeit

Diese Pipeline zeigt, dass die Schnittstelle zwischen Machine Learning und Zahlentheorie ein fruchtbarer Boden für Entdeckungen ist — nicht nur für Vorhersagen, sondern für die Generierung von Hypothesen. Die GAT-Attention-Maps, die Galois-Korrelationskonstante und die Zwei-Populations-GUE-Struktur werfen jeweils Fragen auf, die keine bestehende Theorie vollständig beantwortet.

Die 19-Thread-Roadmap (Threads A–S) im umfassenden Projektpapier priorisiert:

Kurzfristig: GNN-Ensembling, CvS×L-Funktions-Generalisierung, GAT-Attention-Map-Analyse
Mittelfristig: FunSearch für Hecke-Spurenidentitäten, Berechnung des vollständigen Spektrums der spektralen Zeta-Funktion, Pizer-Datenqualität
Langfristig: Knowledge-Graph-integrierte Vermutungsgenerierung, Connes-style Spectral Triple für L-Funktionen

Die Codebasis, die Daten und alle 951 Zeilen des umfassenden Papers sind im Riemann-Repository verfügbar. Wir laden die Community ein, diese Ergebnisse zu replizieren, zu erweitern und zu falsifizieren.

Dieser Artikel fasst die Pipeline des Riemann-Projekts mit Stand vom 30.05.2026 zusammen. Die vollständige akademische Behandlung mit detaillierter Methodik finden Sie im Comprehensive Project Paper.

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